<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          7 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Quinta Parte 

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 7 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2009
          Rua Henrique Schaumannn, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
          -- So Paulo -- SP
          Tel.: PABX (011) 3613-3000 
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          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                                I
          Dados Internacionais de 
          Catalogao na Publicao (CIP) 
          (Cmara Brasileira do Livro, 
          SP, Brasil)

 Mori, Iracema
  Matemtica : ideias e desafios, 7 ano /
 Iracema Mori, Dulce Satiko 
  Onaga. -- 15.ed.
 reform. -- So Paulo : Saraiva, 
  2009.
 Edio no consumvel
 Suplementado pelo manual do 
  professor.
 ISBN 978-85-02-08017-1 
  (aluno) 
 ISBN 978-85-02-08018-8 
  (professor)

 1. Matemtica (Ensino 
  fundamental) I. Onaga,
 Dulce Satiko. II. Ttulo.

 09-00908           CDD-372`.7
<P>
<P>
<R+>
<F->
                            III
Sumrio

Quinta Parte

Unidade 5

Equaes :::::::::::::::::: 433
1 -- O uso de letras em 
  Matemtica :::::::::::::: 435
Um pouco mais de 
  histria ::::::::::::::::: 435
Expresses algbricas ::::: 436
2 -- Expresses 
  algbricas: forma 
  simplificada ::::::::::::: 445
3 -- O equilbrio em 
  jogo ::::::::::::::::::::: 462
4 -- Equaes do 1 grau 
  com uma incgnita :::::::: 473
Soluo ou raiz de uma 
  equao :::::::::::::::::: 478
Equaes equivalentes ::::: 488
5 -- Equaes e resoluo 
  de problemas ::::::::::::: 505
Nmeros e solues de 
  problemas :::::::::::::::: 509
<P>
6 -- Equao com 
  denominadores :::::::::::: 516
7 -- Equaes, geometria e 
  medidas :::::::::::::::::: 532
Leitura + (mais) :::::::: 543
Reviso cumulativa e 
  testes ::::::::::::::::::: 545
<F+>

<144>
<ti. d. mat. 7 ano>
<T+433>
Unidade 5

 Equaes

<R+>
_`[{figura adaptada: Um homem escrevendo em uma placa de argila_`]
 Legenda: Desde a Antiguidade, os seres humanos utilizam smbolos para comunicar ideias, sentimentos e significados. Placas de argila encontradas pelos arquelogos mostram que o povo sumrio, que h mais de 4000 anos vivia na Mesopotmia, j usava smbolos e praticava uma lgebra primitiva. 

_`[{foto de um cientista_`]
 Legenda: Einstein foi um dos grandes gnios do sculo XX. Entre outras coisas, ele mostrou que a matria pode se transformar em energia de acordo com a equao: E = mc2. 

<145>
<P>
_`[{foto de um ptio de escola com vrios alunos_`]
<R->

  Em uma escola, estudam no perodo da manh 620 alunos a mais que no perodo da tarde. No perodo da noite h metade do nmero de alunos do perodo da manh. Se ao todo so 1.860 alunos, quantos esto no perodo da tarde? 
  Resolvemos problemas como esse utilizando a linguagem algbrica que permite a traduo do texto do problema expresso em linguagem corrente para um texto em linguagem simblica. Dizemos que estamos equacionando um problema. 
  O desenvolvimento da lgebra provocou grande e rpido progresso nas cincias e muitas mudanas na histria da humanidade. Ela tornou-se um instrumento poderoso na resoluo de problemas.
  Nesta unidade, vamos estudar as equaes de 1 grau nas quais utilizamos notaes algbricas ou simblicas.
<P>
<R+>
  Voc conhece alguns smbolos matemticos? Em caso afirmativo, escreva-os em seu caderno, com seus respectivos significados. 
  Voc j ouviu a expresso "equacionar o problema"? Explique o que ela significa. 
<R->

<146>
 1 -- O uso de letras em 
  Matemtica
 
 Um pouco mais de histria

  A Histria nos conta que entre os anos 783 e 850 viveu *Al-Khowarizmi*, um grande matemtico rabe.
  Ele viveu e trabalhou na biblioteca do califa *al-Mamun*, em Bagd, capital do atual Iraque.
  Por volta do ano 830, aps uma viagem s ndias, escreveu um famoso tratado de lgebra, o *Al-jabr wa'l muqbalah*.
<P>
  A palavra lgebra vem de Al-jabr. Imagina-se que al-jabr signifique "restaurao" ou "completao", e parece que o termo foi empregado no sentido de transposio dos termos de uma equao de um membro para o outro.
  Muqbalah refere-se a reduo ou equilbrio e quer dizer "promover o cancelamento de termos semelhantes em membros diferentes de uma equao".
  O certo  que Al-Khowarizmi expressou ideias que possibilitaram mais tarde a representao de nmeros por meio de letras.

<R+>
_`[{foto seguida por legenda_`]
 Legenda: O matemtico rabe Al-Khowarizmi, cujo nome deu origem  palavra algarismo.
<R->

 Expresses algbricas

  Analise esta situao.
  Nela voc comear a ler e a compreender uma linguagem de smbolos matemticos e de letras.
<R+>
 wr
  Uma fbrica de roupas produz 20 calas por hora. A quantidade de calas confeccionadas  registrada por um encarregado. De que modo ele pode fazer esse registro?
<R->

  Um dos registros que o encarregado pode fazer  anotar, em uma tabela, a quantidade de calas confeccionadas conforme o nmero de horas decorridas.

_`[{o homem diz_`]
  "Nmero de horas vezes 20  a quantidade de calas produzidas nesse tempo."
<P>
Produo de calas

<F->
!::::::::::::::::::::::::::
l Tempo    _ Quantidade   _
l (horas) _ n.o de calas _
r:::::::::::w:::::::::::::::w
l 1        _ 20           _
l 2        _ 40           _
l 4        _ 80           _
l '''       _ '''           _
h:::::::::::j:::::::::::::::j
<F+>

<147>
  Para representar os nmeros, ele pode usar letras. Veja:

_`[{o menino diz_`]
  "Poderia ser *t* para o nmero de horas..."

_`[{a menina diz_`]
  "E a quantidade de calas produzidas nesse tempo seria 20.t."

  A expresso 20.t ou 20t representa a quantidade de calas produzidas em *t* horas. A expresso 20.t ou 20t denomina-se expresso algbrica e a letra *t* representa uma varivel.
  Observe outros exemplos de expresso algbrica:

<R+>
 1 x+9 significa:
  a soma de um nmero qualquer com 9;
  um nmero qualquer acrescido de 9;
  9 unidades a mais que um nmero qualquer. *x*  a varivel.

 2 x-9 significa:
  a diferena entre um nmero qualquer e 9;
  um nmero qualquer diminudo de 9;
  9 unidades menos que um nmero qualquer. *x*  a varivel.

 3 2.y ou 2y significa:
  o produto de 2 por um nmero qualquer;
<P>
  o dobro de um nmero qualquer;
  um nmero par. *y*  a varivel.

 4 a~3 significa:
  um nmero qualquer dividido por 3;
  o quociente de um nmero qualquer por 3;
  a tera parte de um nmero qualquer. *a*  a varivel.
<R->

  De maneira simplificada, chamamos expresso algbrica uma expresso que envolve nmeros, letras e operaes indicadas entre eles.
  As letras so as variveis da expresso algbrica: elas representam um nmero racional qualquer.

<148>
 Valor numrico

  Vimos que a expresso 20.t representa a quantidade de calas produzidas em *t* horas.
  Quando atribumos a *t* um nmero positivo qualquer, podemos calcular o valor da expresso algbrica 20.t para esse nmero. Veja na tabela.

_`[{o professor diz_`]
  "A letra *t* representa um nmero, lembra?"

<F->
!::::::::::::::::::::::::::
l Valor de t _ Valor da   _
l   (horas) _   expresso _
l             _   algbrica _
l             _   20.t     _
r:::::::::::::w:::::::::::::w
l 1          _ 20.1=20  _
l 2          _ 20.2=40  _
l 5          _ 20.5=100 _
l 0,5        _ 20.0,5=10_
l #,d         _ 20.#,d=5  _
h:::::::::::::j:::::::::::::j
<F+>

<R+>
 wr
  Qual  o valor da expresso algbrica 20.t quando atribumos a *t* o valor 11? 
<R->

  Atribuindo a *t* o valor 11, a expresso 20.t representa o nmero 20.11=220.
  O resultado, 220,  o valor numrico da expresso 20.t, para t=11.
  Valor numrico de uma expresso algbrica  o nmero que obtemos quando atribumos s letras dessa expresso valores numricos e efetuamos as operaes nela indicadas.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Forme pares com as expresses algbricas (identificadas por nmeros) e as frases correspondentes (identificadas por letras) e anote-os:

 1 -- x+8
 2 -- 6.x
 3 -- 2.x
 4 -- #,b.x
 5 -- x+5
 6 -- 4-x
 7 -- x~4

 a -- A soma de *x* com 5.
 b -- O quociente de *x* por 4.
 c -- O sxtuplo de *x*.
 d -- O dobro de *x*.
 e -- *x* acrescido de 8 unidades.
 f -- A metade de *x*.
 g -- A diferena entre 4 e *x*.

 2. Escreva uma expresso algbrica para cada frase:
 a) O quntuplo de um nmero qualquer. 
 b) O qudruplo de um nmero qualquer adicionado a 6 unidades.
 c) O produto de -2,4 por um nmero qualquer.
 d) A soma de um nmero qualquer com seu triplo.
 e) O quociente entre um nmero qualquer e -8. 
<P>
 f) A quinta parte de um nmero qualquer mais a tera parte desse mesmo nmero. 

 3. Escreva uma frase para cada expresso algbrica.
 a) x+#,d
 b) x-1 
 c) n+10
 d) 3.t
 
 4. Calcule o valor numrico da expresso algbrica x-12 para x=10. 
 5. Qual  o valor numrico da expresso algbrica 2y+5, quando atribumos a *y* os valores: -3,0, #,d e #,b?
 6. Quais so os valores numricos das expresses algbricas 2n e n2 para n=3? Eles so iguais?
<P>
 7. Qual  a sequncia numrica que se obtm quando atribumos a *n* os valores: 1, 2, 3, 4, ... na expresso algbrica n2+1?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<149>
 2 -- Expresses algbricas: 
  forma simplificada

  Muitas vezes  possvel simplificar uma expresso algbrica ou parte dela. Isso  conveniente na resoluo de problemas que envolvem linguagens matemticas.
  Nesta figura, os lados do tringulo {r{i{o tm medidas iguais.
<P>
<F->
      R          
      
       
        
         
          
             
j::::::::::::h
I            O 
<F+>

<R+>
 wr
  Como representar o permetro desse tringulo, usando uma expresso algbrica? 
<R->

  Veja como representaramos o permetro se as medidas dos lados fossem conhecidas.

_`[{o menino diz_`]
  "Medidas em centmetros..."
<P>
<F->
    
 1   1
        
 j::::::h
    1  

medida dos lados =1 cm
permetro =1+1+1
permetro =3.1=3 cm
1 :> medida dos lados
    
     
      
2      2
        
           
j::::::::::h
    2

medida dos lados =2 cm
permetro =2+2+2
permetro =3.2=6 cm
2 :> medida dos lados
<P>
         
          
           
            
  5          5
              
               
                
                   
j::::::::::::::::::h
          5

medida dos lados =5 cm
permetro =5+5+5
permetro =3.5=15 cm
5 :> medida dos lados
<F+>

  Se as medidas dos lados do tringulo {r{i{o no so conhecidas, elas podem ser indicadas por qualquer letra. Podemos escolher, por exemplo, a letra *y*. Veja como fica:
<P>
<F->
         R
         
          
           
            
  y           y
              
               
                
                   
j::::::::::::::::::h
I         y       O
<F+>

 permetro =y+y+y

_`[{a menina diz_`]
  "A expresso y+y+y pode ser simplificada."

 *y*, medida em cm
 permetro =3.y
 *y* medida dos lados
 Portanto, simplificando:
  y+y+y=3.y ou 3y

  O permetro do tringulo pode ser representado por 3.y ou 3y.

<150>
  Cida tinha no banco certa quantia em dinheiro.
  Precisou pagar uma dvida e, para isso, sacou o sxtuplo do seu saldo bancrio.

<R+>
 wr
  Como representar o saldo bancrio de Cida, aps o saque, usando uma expresso algbrica? 
<R->

  Escolhemos, por exemplo, a letra *n* para representar a quantia que Cida tinha no banco.

_`[{o homem diz_`]
  "Cida tinha *n*, sacou 6.n e ficou devendo 5.n."

 n-6.n=-5.n 

  O saldo de Cida pode ser representado por -5n.
  A expresso n-6.n pode ser escrita de outra forma. Aplicando a propriedade distributiva da mul-
<P>
 tiplicao em relao  subtrao, obtemos:

 n-6.n=1.n-6.n=`(1-6`).n=-5.n

  Portanto, simplificando:

 n-6.n=-5.n ou n-6n=-5n

  A expresso algbrica que est no quadro pode ser simplificada.

<F->
!::::::::::::::::
l 5.`(x+2`)-8.x _
h::::::::::::::::j
<F+>
 
<R+>
 wr
  Qual  uma forma simplificada dessa expresso algbrica? 
<R->

  Podemos simplificar essa expresso algbrica da seguinte forma:

_`[{o professor diz_`]
  "Eliminamos os parnteses usando a propriedade distributiva da multiplicao em relao  adio."

 5.`(x+2`)-8.x=5.`(x+2`)-8.x=
  =5.x+5.2-8.x=
  =5.x+10-8.x=
  =5.x-8.x+10=
  =`(5-8`).x+10=
  =-3.x+10

  Portanto, simplificando:

 5.`(x+2`)-8.x=-3.x+10 ou 
  5.`(x+2`)-8.x=-3x+10

<151>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 8. Neste quadrado, a letra *a* representa a medida de um lado, em centmetros. Escreva uma expresso algbrica simplificada que represente o permetro desse quadrado.
<P>
<F->
      a
  !:::::::
  l       _
  l       _
a l       _ a
  l       _
  h:::::::j
      a

<F+>
 9. Nesta figura, a letra *x* representa uma medida em certa unidade. Represente o permetro do tringulo {r{u{a, usando uma expresso algbrica simplificada.

<F->
                 R
                 ie
               i   e 
             i      e
    #;c.x  i         e #,b.x
         i            e
       i               e
     i                  e
 U j:::::::::::::::::::::h A
                 x
<F+>
<P>
 10. Reescreva estas frases, substituindo a ... por uma expresso algbrica simplificada.
 a) A forma simplificada da expresso 12.x+15.x  ... 
 b) A forma simplificada da expresso -20.x-18.x  ... 
 c) A forma simplificada da expresso 72.n-47.n  ...

 11. Qual  a forma simplificada destas expresses?
 a) `(-8`).`(3-x`)+14 
 b) 2.`(x-6`)+5.`(x+3`) 
 c) `(-12).`(1-x`)+4.`(x-8)

 12. Neste retngulo, a letra *x* representa uma medida em centmetros.
<P>
<F->
A rea do retngulo  igual a base  altura. 

T                I
!::::::::::::::::::
l                  _
l                  _
l                  _ 3
l                  _
l                  _
h::::::::::::::::::j
O     5.x       M
<F+>

 a) Represente o permetro de {t{o{m{i, usando uma expresso algbrica. 
 b) Represente a rea de {t{o{m{i, usando uma expresso algbrica. 
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 13. Na figura, {e{f{g{h  um losango. Copie e complete uma tabela como esta a seguir em seu caderno, calculando o permetro de {e{f{g{h para cada valor dado na tabela.

<F->
      E
               
       
        
F       H
         
        
       
      
      G 
<F+>
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "As medidas dos lados de um losango so iguais. *l* representa um nmero racional positivo."

<R+>
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: Lado `(cm`)
 2 coluna: Permetro `(cm`)
<P>
<F->
!::::::::::::
l 1   _ 2 _
r:::::::w:::::w
l 1    _ ''' _
l 3    _ ''' _
l 6    _ ''' _
l 0,5  _ ''' _
l 1,5  _ ''' _
l 24,8 _ ''' _
l l     _ ''' _
h:::::::j:::::j
<F+>

 14. Para responder a estas questes, considere que a letra *x* representa a idade de uma pessoa.
 a) Que expresso representa a idade dessa pessoa daqui a 10 anos? 
 b) Que expresso representa a idade dessa pessoa h 5 anos?  

 15. Simplifique as expresses algbricas:
 a) -9.`(x+3`)-18
 b) `(3-x`).6+10.x 
<P>
 c) 6.`(x-15`)+3.`(x+8`) 
 d) 1.`(x+4`)-#:d.`(x-2`)

<152>
 16. Que expresso algbrica simplificada representa o permetro do quadrado a seguir?

*y* representa um nmero racional positivo.

<F->
        #:h.y      
      !:::::::
      l       _
      l       _
#:h.y l       _ #:h.y
      l       _
      h:::::::j
        #:h.y
<F+>

 17. Nesta atividade, a letra *n* representa um nmero inteiro. Responda:
 a) Que expresso representa o sucessor desse nmero?
 b) Que expresses representam trs nmeros consecutivos, em que o primeiro deles  *n*?
<P>
 c) Que expresso representa a soma dos trs nmeros consecutivos do item anterior?

 18. No paraleleppedo a seguir, as letras *a* e *b* representam medidas em centmetros.

 Volume de paraleleppedo = comprimento  largura  altura.

_`[{figura adaptada_`]
 Um paraleleppedo com medidas; comprimento: *a*; largura: 3 cm e altura: *b*.

 a) Represente o volume desse paraleleppedo, usando uma expresso algbrica. 
 b) Calcule o valor numrico da expresso obtida no item anterior para a=4,5 cm e b=2 cm. 
<R->
<P>
 Seo + (mais)

 Da Aritmtica  lgebra

_`[{o professor diz_`]
  "Este  o desenho de um pedao de cartolina retangular."

<F->
    A            E   10 D
    !:::::::::::::!::::::::::
    l             l          _
    l             l          _
    l             l          _ 10
    l             l          _
    l             l          _
    l             l          _
30 l             h::::::::::w
    l             F   10   _G
    l                        _
    l                        _
    l                        _
    l                        _
    h::::::::::::::::::::::::j
    B          a           C
<F+>

_`[{o menino diz_`]
  "E este  um canto quadrado que vamos recortar!!!"
<R+>
  Os lados dessas figuras foram medidos em centmetros. A letra *a* representa a medida da base do pedao de cartolina.
 a) Escreva em seu caderno uma expresso algbrica para representar a medida do segmento de reta {a{e. Qual  a medida do segmento de reta {c{g? 
 b) Que expresso algbrica pode representar o permetro da cartolina retangular?
 c) Qual  o permetro do canto quadrado que ser recortado? 
 d) Pintando as bordas que sobrarem aps o recorte, quantos lados ter o polgono que ir formar essa borda? Qual  esse polgono? 
 e) Qual  a rea do canto quadrado que ser recortado? 
 f) Represente a rea da cartolina por meio de uma expresso algbrica.
<P>
 g) Represente, por meio de uma expresso algbrica, a rea do polgono obtido aps o recorte do canto quadrado. 
 h) Se a base da cartolina medisse 45 cm, como voc calcularia a rea desse polgono usando a expresso algbrica obtida? 
 i) Se a base da cartolina medisse 45 cm, como voc calcularia a rea desse hexgono?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<153>
 3 -- O equilbrio em jogo

  Iniciamos nosso estudo sobre as equaes retomando as noes de igualdade. Vamos utilizar uma balana de dois pratos para ilustrar algumas propriedades da igualdade. A da fotografia era muito usada h algum tempo e, em alguns lugares,  empregada at hoje.
  Nesta fotografia, a balana est equilibrada. Isso significa que as massas dos corpos que esto em cada um dos pratos so iguais.

<R+>
_`[{foto: balana em equilbrio, prato da esquerda com trs laranjas e prato da direita com um peso_`]
<R->

  Acompanhe algumas situaes que envolvem balanas desse tipo, em que so usadas bolas azuis e vermelhas, todas elas com massas iguais.
  Vamos fazer algumas mudanas, sempre com uma balana equilibrada com 4 bolas azuis e 4 vermelhas em um dos pratos e 2 bolas azuis e 6 vermelhas no outro prato.

<R+>
_`[{figura adaptada: balana em equilbrio_`]
 Legenda:
 az -- azul
 vm -- vermelha 

 prato da esquerda: az az az az -- vm vm vm vm
 prato da direita: az az -- vm vm vm vm vm vm
<R->

  Como a balana est equilibrada, temos uma igualdade.

 4+4=2+6 -- Igualdade inicial.

  Essa igualdade tem dois membros: 4+4=2+6

 4+4 -- 1 membro
 2+6 -- 2 membro

  Se colocarmos mais 2 bolas vermelhas em um dos pratos, a balana ficar desequilibrada.

<R+>
_`[{figura adaptada: balana em desequilbrio_`]
 Legenda:
 az -- azul
 vm -- vermelha 

 prato da esquerda: az az az az -- vm vm vm vm
 prato da direita: az az -- vm vm vm vm vm vm vm vm

 wr
  Como podemos reequilibr-la, acrescentando bolas?

_`[{figura adaptada: balana em equilbrio_`]
 Legenda:
 az -- azul
 vm -- vermelha 

 prato da esquerda: az az az az -- vm vm vm vm vm vm
 prato da direita: az az -- vm vm vm vm vm vm vm vm
<R->

  Podemos reequilibrar a balana colocando mais 2 bolas vermelhas no prato da esquerda.
<154>
  Observe o que acontece com a igualdade inicial:
<P>
 4+4=2+6 
 4+4+2...2+6+2
 8+2...8+2
 10=10
  uma igualdade.  
 4+4+2=2+6+2

  Se 4+4=2+6, ento, adicionando 2 unidades a cada membro, obteremos 4+4+2=2+6+2, que continua sendo uma igualdade.
  Se retirarmos 3 bolas vermelhas de um dos pratos, a balana ficar desequilibrada.

<R+>
_`[{figura adaptada: balana em desequilbrio_`]
 Legenda:
 az -- azul
 vm -- vermelha 

 prato da esquerda: az az az az -- vm 
 prato da direita: az az -- vm vm vm vm vm vm
<P>
 wr
  Como podemos reequilibr-la, retirando bolas?
<R->

  Podemos reequilibrar a balana retirando 3 bolas vermelhas do prato da direita.

<R+>
_`[{figura adaptada: balana em equilbrio_`]
 Legenda:
 az -- azul
 vm -- vermelha 

 prato da esquerda: az az az az -- vm 
 prato da direita: az z -- vm vm vm 
<R->

  Observe o que acontece com a igualdade inicial:

 4+4=2+6
 4+4-3...2+6-3
 8-3...8-3
 5=5 
  uma igualdade.  
 4+4-3=2+6-3

  Se 4+4=2+6, ento, subtraindo 3 unidades de cada membro, obteremos 4+4-3=2+
 +6-3, que continua sendo uma igualdade.

<R+>
 Princpio aditivo da igualdade

 Adicionando um mesmo nmero, diferente de zero, aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma outra igualdade.
 Subtraindo um mesmo nmero, diferente de zero, dos dois membros de uma igualdade, obtemos uma outra igualdade.
<R->

  Se dobrarmos a quantidade de bolas em um dos pratos, a balana ficar desequilibrada.

<R+>
 wr
  Como podemos reequilibr-la, sem retirar bolas?
<P>
_`[{figura adaptada: balana em desequilbrio_`]
 Legenda:
 az -- azul
 vm -- vermelha 

 prato da esquerda: az az az az az az az az -- vm vm vm vm vm vm vm vm
 prato da direita: az az -- vm vm vm vm vm vm
<R->

<155>
  Podemos reequilibrar a balana dobrando a quantidade de bolas no prato da direita.

<R+>
_`[{figura adaptada: balana em equilbrio_`]
 Legenda:
 az -- azul
 vm -- vermelha 

 prato da esquerda: az az az az az az az az -- vm vm vm vm vm vm vm vm
<P>
 prato da direita: az az az az -- vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm 
<R->

  Observe o que acontece com a igualdade inicial:

 4+4=2+6 
 2.`(4+4`)...2.`(2+6`)
 2.8...2.8
 16=16
  uma igualdade.  
 2.`(4+4`)=2.`(4+6`) 

  Se 4+4=2+6, ento, multiplicando cada membro por 2, obteremos 2.`(4+4`)=2.`(2+6`), que continua sendo uma igualdade.
  Da mesma forma:
  Se 4+4=2+6, ento, dividindo cada membro por 2, obteremos `(4+4`)2=`(2+6`)2, que continua sendo uma igualdade.
<P>
<R+>
 Princpio multiplicativo da igualdade

 Multiplicando os dois membros de uma igualdade por um mesmo nmero, diferente de zero, obtemos uma outra igualdade.
 Dividindo os dois membros de uma igualdade por um mesmo nmero, diferente de zero, obtemos uma outra igualdade.
<R->

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 19. Observe as bolas que esto nas balanas. So as mesmas do texto da pginas anteriores: tm massas iguais.

_`[{figuras adaptadas: trs balanas em desequilbrio_`]
 Legenda:
 az -- azul
 vm -- vermelha 

 A) prato da esquerda: vm vm vm vm vm vm vm vm vm az az az az az az
 prato da direita: vm vm vm az az
 B) prato da esquerda: vm vm vm vm vm az az az  
 prato da direita: vm vm vm vm vm vm az az az az az az az 
 C) prato da esquerda: vm vm vm az az az az az az az az
 prato da direita: vm vm az az az az

 a) Como voc equilibraria a balana em cada situao anterior?
 b) Escreva a igualdade que voc obteve em cada situao.
 c) Escolha duas dessas igualdades. A partir delas, obtenha duas outras igualdades, utilizando o princpio aditivo da igualdade.
 d) Agora, trabalhe com a igualdade que voc no escolheu. A partir dela, obtenha uma outra 
<P>
  igualdade, utilizando o princpio multiplicativo da igualdade.

 20. Na igualdade a seguir foi aplicado um dos princpios da igualdade:

 7.12=4.`(50-29`)
 `(7.12`)3=4.`(50-29`)3

 a) Identifique o princpio da igualdade aplicado.
 b) Aplique um princpio diferente do aplicado e obtenha outra igualdade.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<156>
 4 -- Equao do 1 grau com 
  uma incgnita

  H alguns milhares de anos, os matemticos j tinham muito interesse na resoluo de equaes.
  Elas eram utilizadas, na maior parte das vezes, para resolver problemas que mais pareciam enigmas: tinham um ar romntico, ou misterioso, e s vezes envolviam mgicas e truques de adivinhao.
  Existem vrios caminhos para resolver um problema.
  Um deles  representar o nmero que queremos determinar por uma letra e escrever uma sentena envolvendo uma igualdade, as operaes e a letra escolhida. Quando fazemos isso, dizemos que equacionamos o problema.
  Nesta unidade, vamos aprender a escrever uma equao que traduza as informaes do problema, trabalhar com letras como se elas fossem nmeros e obter as solues da equao que podero ser as solues do problema, caso existam.
  Com as economias que juntou, Lvia quer comprar uma bicicleta e um par de patins.

<R+>
_`[{figura adaptada: a menina observa uma bicicleta que custa R$426,00_`]
<R->

  A soma do dobro do preo dos patins com o preo da bicicleta  R$734,00.

<R+>
 wr
  Escreva uma sentena que traduza este problema. 
<R->

  Vamos usar a letra *x* para representar o preo do par de patins. Como o preo  um nmero racional positivo, *x*  um nmero racional positivo.

<R+>
 x -- preo do par de patins
 2.x -- dobro do preo do par de patins
 R$426,00 -- preo da bicicleta

 O dobro do preo do par de patins mais o preo da bicicleta  igual a R$734,00.
<R->

  A traduo deste problema  expressa pela sentena 2.x+426=734.
<157>
<P>
  Dizemos que 2.x+426=734  uma equao do 1 grau com uma incgnita.
  A letra que representa o nmero desconhecido  a incgnita da equao.
  Uma equao  uma sentena matemtica que expressa uma igualdade entre duas expresses algbricas.
  Observe que nesta equao cada uma das expresses  um membro da equao.
  Assim, em uma equao existem dois membros.

 2.x+426=734
 1 membro -- 2.x+426
 2 membro -- 734

<R+>
 wr
  Qual  o valor de *x*? 
  Quanto custa o par de patins? 
<R->

  Para saber o valor de *x*, resolvemos a equao.
<P>
  Vamos comear usando novamente uma balana de dois pratos e os princpios da igualdade.

<R+>
_`[{figura adaptada: balana em equilbrio_`]
<R->
 prato da esquerda: x x 426
 prato da direita: 734

 2.x+426=734

_`[{o professor diz_`]
  "Utilizando o princpio aditivo da igualdade, podemos tirar 426 de cada prato da balana, que ela continuar em equilbrio."

 2.x+426-426=734-426
 2.x+0=734-426
 2.x=308

  Pelo princpio multiplicativo da igualdade, podemos dividir por 2 o que temos em cada prato da balana, que ela continuar em equilbrio.
<P>
<R+>
_`[{figura adaptada: balana em equilbrio_`]
 prato da esquerda: x x
 prato da direita: 308

 `(2.x`)2=3082
 x=154
<R->

  Portanto, o par de patins custa R$154,00.

 Soluo ou raiz de uma equao

  Podemos verificar que 154  soluo ou raiz da equao 2.x+426=734, pois, atribuindo a *x* o valor 154, obteremos uma sentena verdadeira.

 2.#aed+426=734
 308+426=734

  Quando uma equao se transforma em uma sentena verdadeira para um valor da incgnita, esse valor  chamado soluo ou raiz dessa equao.
<158>
<P>
 Fazer e aprender
 
  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 21. Anote as sentenas matemticas que so equaes do 1 grau com uma incgnita:
 a) 3.x-15=0 
 b) 8=4+7-3
 c) 2.x-15
 d) x2-25=0
 e) 5.t+3=0 
 f) -6.y+12=18 
 g) ?x-2*~4=12 
 h) 5.y2-6=1
 i) -1,2+3.x=3
  Nas equaes que voc anotou, identifique o 1 e o 2 membro de cada uma delas.

 22. O nmero 9  raiz da equao a seguir? Por qu?

 5.x+12=57
<P>
 23. O nmero -4  raiz da equao a seguir? Por qu?

 15-3.x=-27

 24. Escreva uma equao para cada desenho:

_`[{figuras adaptadas: quatro balanas em equilbrio_`]
 Legenda: 
 az -- bola azul
 vm -- bola vermelha

 1 -- prato da esquerda: x x
 prato da direita: vm vm vm vm vm vm vm vm

 2 -- prato da esquerda: x x x
 prato da direita: x vm vm vm vm vm vm 

 3 -- prato da esquerda: x x x az az az az az
 prato da direita: x x az az
<P>
 4 -- prato da esquerda: x x x x vm vm vm vm vm
 prato da direita: x vm vm vm

 a) Qual  o valor para *x* na situao 2? 
 b) Resolva as equaes que voc obteve nas situaes 1, 3 e 4.

 25. As razes das equaes a seguir podem ser obtidas mentalmente. Quais so elas?

 x-1,8=0;
 -18.x=36; 
 6.x+21=21 

 26. A seguir, voc tem duas tabelas: na tabela A figuram algumas equaes; na tabela B, as razes dessas equaes. Forme pares: cada equao com sua raiz.
<P>
_`[{tabelas adaptadas_`]
 Tabela A
 I -- x-2=45
 II -- 12.x=-6
 III -- t~7=-3
 IV -- 6.y-1=11
 V -- y~8+6=#?f
 VI -- 21.y+18=-3

 Tabela B
 a -- -21
 b -- -28
 c -- -#,b
 d -- -1
 e -- 47
 f -- 2

 27. Escreva uma equao para a seguinte situao: O triplo do nmero de ovos vendidos na granja do Juca, por dia,  o qudruplo de 45.
 a) Quantos ovos so vendidos, na granja do Juca, por dia? 
 b) Quantos ovos so vendidos, na granja do Juca, por semana? Quantas dzias so?

 28. Leia este problema: A tera parte da idade de Zeca diminuda de 4 anos  9.
 a) Escreva uma equao para resolv-lo.
 b) Qual  a raiz da equao que voc escreveu? 
 c) Qual  a idade de Zeca? 

 29. Todos os lados deste pentgono tm medidas iguais. A letra *x* representa um nmero racional positivo, e a expresso algbrica 9.x  a medida de um lado desse pentgono, em metros.
<P>
<F->
            A
            ie
          i    e
        i        e
      i            e
    i                e
B i                   eE
   e                  i
    e                i
     e              i
      e            i 9.x
       e          i
        e::::::::i
        C      D
<F+>

 a) O permetro do pentgono  216 m. Escreva uma equao que permita encontrar a medida de um lado desse pentgono.
 b) Qual  a raiz da equao que voc escreveu? 
 c) Quanto medem os lados desse pentgono?

<159>
 30. Daniel guarda 30% de seu salrio para pagar o aluguel de sua casa e fica com R$1.407,00 
<P>
  para outras despesas. Qual  o salrio de Daniel?
 31. Uma companhia turstica organizou uma excurso da qual participaram 38 pessoas, que pagaram R$840,00. O passeio saiu por R$28,00 para cada adulto, e as crianas tiveram um desconto de 50%. Quantos adultos e quantas crianas participaram dessa excurso?
<R->

 Troque ideias e resolva 

  Como est sua linguagem matemtica? Nesta atividade, voc tem sentenas escritas na linguagem cotidiana e na linguagem matemtica. Forme pares: cada frase com a equao correspondente.
<R+>
 1 -- A diferena entre o qudruplo de um nmero e 0,6  -130. 
 2 -- A quarta parte de um nmero subtrado de 0,6  -130. 
<P>
 3 -- A soma de um nmero com 0,6  o qudruplo de -130. 
 4 -- O qudruplo da soma de um nmero com 0,6  -130.

 A -- x+0,6=4.`(-130`)
 B -- 4.x-0,6=-130 
 C -- 0,6-x~4=-130
 D -- 4.`(x+0,6`)=-130

  Agora escreva em seu caderno uma sentena, diferente da apresentada na atividade, para cada equao. Troque suas sentenas com as de um colega e discuta com ele se elas tm o mesmo significado.
<R->

 Seo + (mais)

 A histria do pote de azeite do 
  emir Omar Ibn Sinan

  *Omar Ibn Sinan* era um grande matemtico que se divertia propondo quebra-cabeas para os viajantes que encontrava.
<P>
  Eis um deles:
  Um pote cheio de azeite pesa 5 quilogramas. Com azeite pela metade, pesa 2,750 quilogramas. Quanto pesa o pote vazio?

<R+>
_`[{duas figuras adaptadas_`]
 1 balana em equilbrio: prato da esquerda -- um pote cheio pesando 5 kg; 
 prato da direita -- dois pesos de 2 kg e um peso de 1 kg.
 2 balana em desequilbrio: prato da esquerda -- um pote com azeite pela metade pesando 2,750 kg; 
 prato da direita -- dois pesos de 2 kg e um peso de 1 kg.

 Fonte Ernesto Rosa Neto. *As mil e uma equaes*. So Paulo: tica, 1997.

  Pense em uma soluo para o problema proposto.
<R->

<160>
<P>
 Equaes equivalentes

  A partir de uma equao,  possvel obter outras equaes que tenham as mesmas razes da equao dada. Os procedimentos para essa obteno so justificados pelos princpios da igualdade.
  Uma balana est em equilbrio.
  Sobre um dos pratos h tijolos com massas iguais e 3 pesos com 1 quilograma cada. Sobre o outro prato h 9 pesos com 1 quilograma cada.

<R+>
 wr
  Quantos quilogramas tem cada tijolo? 
<R->

  Vamos representar pela letra *x* a massa de um tijolo.
  A representao desse problema  expressa pela equao 2.x+3=9.
  Para determinar a raiz dessa equao, utilizamos os princpios da igualdade:

_`[{a professora diz_`]
  "Subtramos 3 unidades de cada membro. Dividimos cada membro por 2."

_`[{o menino diz_`]
  "E obtemos o valor de *x*."

 2.x+3=9
 2.x+3-3=9-3
 2.x=6
 `(2.x`)2=62
 x=3

  Portanto, um tijolo tem massa de 3 kg.
  Nessa resoluo, obtivemos algumas equaes diferentes da equao inicial, 2.x+3=9, aplicando os princpios da igualdade.
 
 2.x+3=9 
 2.x=6 
 x=3

  O nmero 3  raiz de todas essas equaes e tambm da equao inicial, ou seja, atribuindo a *x* o valor 3, em cada uma delas, obteremos sentenas verdadeiras. Veja:

 2.x+3=9
 2.3+3=9
 6+3=9 
 9=9

 2.x=6
 2.3=6
 6=6

 x=3
 3=3

  Dizemos que as equaes 2.x+3=9; 2.x=6 e x=3 so equivalentes entre si. x=3  a equao mais simples equivalente a 2.x+3=9, como, por exemplo: -4.x=-12; 2.x+6=12 e x+4=7.

<R+>
 Duas equaes so equivalentes quando tm exatamente as mesmas razes (ou solues).
<R->

  Podemos resumir o processo de resoluo de uma equao do 1 grau com uma incgnita, utilizando os princpios de equivalncia das equaes, mas sem escrev-los.
<161>
  Acompanhe a resoluo da equao 2.x+3=9 obtida neste problema.
  Escolhemos um dos membros para isolar os termos que apresentam a incgnita.

_`[{o menino diz_`]
  "Escolhemos o 1 membro para isolar *x*..."

 Resoluo da equao
 2.x+3=9
 2.x=9-3
 2.x=6
 x=#!b=3

  A soluo ou raiz da equao 2.x+3=9  3.
<P>
  Resolva este problema:

<R+>
 wr
  Marina tem 17 anos menos que o triplo da idade de Dora. A soma das idades das duas  39. Qual  a idade de Dora? 
<R->

  Destacamos as informaes que nos so teis para encontrar a resposta e usamos a letra *y* para representar a idade de Dora:
  Marina tem 17 anos menos que o triplo da idade de Dora.

<R+>
  triplo da idade de Dora: 3.y
  17 anos menos que o triplo da idade de Dora: 3.y-17
  idade de Marina: 3.y-17

 A soma das idades das duas  39.
 y+3.y-17=39
 y+`(3.y=17`)=39  uma equao do 1 grau com uma incgnita, que  *y*.
<R->
<P>
  Resolvemos essa equao eliminando primeiro os parnteses e aplicando em seguida os princpios da igualdade:

<R+>
 y+`(3.y-17`)=39
 y+3.y-17=39
 `(1+3`).y
 4.y-17=39

 Adicionamos 17 a cada membro.

 4.y-17+17=39+17
 4.y=56

 Dividimos cada membro por 4.

 `(4.y`)4=564
 4.y~4=#?!d
 y=14

 Ou:

 y+3.y-17=39
 1.y+3.y-17=39
 4.y-17=39
 4.y=39+17
 4.y=56
 y=#?!d
 y=14

 Portanto, Dora tem 14 anos.
<R->

<162>
  As equaes: y+`(3.y-17`)=
 =39,4.y-17=39,4.y=56 e y=14 so equaes equivalentes entre si.
  Podemos verificar que 14  a raiz de todas essas equaes. Veja:

 y+`(3.y-17`)=39
 14+`(3.14-17`)=39
 14+`(42-17`)=39
 14+25=39
 39=39

 4.y-17=39
 4.14-17=39
 56-17=39
 39=39
<P>
 4.y=56
 4.14=56
 56=56

 y=14
 14=14

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 32. As equaes a seguir tm raiz igual a -3.

 4.x=-12
 -5.x-100=-85
 a) Que expresso utilizamos quando falamos dessas equaes em relao a essa raiz?
 b) Escreva duas equaes equivalentes a essas.

 33. Neste desenho, as bolas so iguais, cada uma representa 1 unidade, e a balana est em equilbrio.

_`[{figura adaptada: balana em equilbrio_`]
 Legenda: 
 vd -- bola verde  

 prato da esquerda: x x x x vd vd vd vd vd
 prato da direita: vd vd vd vd vd vd vd vd vd 

 a) Represente essa situao, utilizando uma equao.
 b) Aplique o princpio aditivo da igualdade e obtenha outra equao equivalente a essa.
 c) Uma das equaes que podem ser escritas, nessa situao,  4.x+5=9, cuja raiz  1. A equao 16.x+20=36  equivalente a essa? Por qu? 

 34. Neste desenho, as bolas so iguais, cada uma representa 1 unidade, e a balana est em equilbrio.
<P>
_`[{figura adaptada: balana em equilbrio_`]
 Legenda:
 vm -- bola vermelha

 prato da esquerda: x x x x x x vm vm vm vm vm vm vm vm vm 
 prato da direita: vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm vm 

 a) Escreva duas equaes que representem essa situao.
 b) Aplique o princpio multiplicativo da igualdade e obtenha outra equao equivalente a uma dessas que voc escreveu. 
 c) Uma das equaes que podem ser escritas, nessa situao,  6.x+9=18. Qual  a raiz dessa equao? 
 d) A equao 6.x=9  equivalente  equao anterior? Por qu? 
<P>
 35. Resolva estas equaes:
 a) 16+8.y=3.y+81 
 b) 5.x=12.x+49 
 c) 20-8.x=-19-21.x
 d) 4.x-31=34.x-13 
 e) 15-9.x=5.x+64 
 f) -18+2.x+6=7.x-12-8.x 

 36. A soma de um nmero inteiro com sua tera parte  84.
 a) Que tipo de nmero  soluo desse problema?
 b) Resolva o problema, utilizando uma equao do 1 grau com uma incgnita. 

 37. Certo dia #:d da temperatura na Antrtida eram -48C. Qual era a temperatura local nesse dia?
<163>
 38. Zeca  o cestinha do time de basquete de sua escola. Nos Jogos da Primavera do ano passado, seu time foi campeo. O qudruplo do nmero de pontos que ele fez, na final, diminudo 
<P>
  de 29 pontos, resultou em 127. Quantos pontos ele fez nesse jogo? 
 39. O triplo da idade de Juliana excede sua idade em 16 unidades. Qual  a idade dela? 
 40. Adicione -2x aos dois membros da equao 3x=2x+9. Em seguida, verifique se as duas equaes so equivalentes.
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 41. Na figura, o permetro do tringulo equiltero {t{r{i  135 mm.
<P>
<F->
*x*  medida em mm.

         T
         
          
           
            
              6.x
              
               
                
                   
j::::::::::::::::::h
R                 I
<F+>

 a) Escreva uma equao do 1 grau com uma incgnita, cuja raiz seja o valor de *x*.
 b) Qual  o valor de *x*? 
 c) Quanto mede cada lado desse tringulo?
<P>
 42. O permetro do paralelogramo da figura  175 cm. 

<F->
       T                 A
       ccccccccccccccccccc 
                          
                          
                       
                      
                      5.x
                    
-------------------
O     9.x       R 
<F+>

 a) Escreva uma equao do 1 grau com uma incgnita, cuja raiz seja o valor de *x*.
 b) Qual  o valor de *x*? 
 c) Quais so as medidas dos lados de {t{o{r{a?
<P>
 Problema resolvido

 43. Algumas vezes, uma equao a ser resolvida tem parnteses. Veja: Qual  a soluo da equao deste quadro?

<R+>
 !::::::::::::::::::
 l 5.y-6=2.`(y+9`)_
 h::::::::::::::::::j

 Usamos a propriedade distributiva para eliminarmos os parnteses:
<R->

 5.y-6=2.`(y+9`)
 5.y-6=2.y+2.9
 5.y-6=2.y+18
 5.y-6+6-2.y=2.y+18+6-2.y
 5.y-0-2.y=18+6
 5.y-2.y=18+6
 3.y=24
 y=8

Ou:

 5.y-6=2.`(y+9`)
 5.y-6=2.y+2.9
 5y-2y=18+6
 3y=24
 y=#;c
 y=8

<R+>
 Resposta: A soluo da equao 5.y-6=2.`(y+9`)  8.

<164>
 44. Determine a raiz destas equaes do 1 grau com uma incgnita:
 a) 13.x-34=6.`(x+1`)-5 
 b) -2.`(5.x-2)=2.x-24 
 c) 5.`(y-7)`-2.`(3.y-1`)=0 
 d) 6.x-17=13.`(x-1`)-4 
 e) 12.`(t-3`)+1=6.`(t+1`)-5 
 f) 6.`(-3.n+5`)-4.`(2.n+2`)=
  =-3.`(6+8.n`) 

 45. Qual  a raiz da equao 2.t+3.`(t-1`)-4-3.`(t+3`)=-4? Essa raiz  um nmero natural? 
 46. A soluo desta equao  um nmero menor que 3? 
 
 2.y-[6.y-`(8-y`)-3]=-`(5-y`)
 Elimine os `( `) antes dos `[ `].
<R->
<P>
 Usando a calculadora

  Vamos descobrir algumas regularidades com sua calculadora?
  Ao digitar as teclas: 2 + = =, o resultado que aparece no visor depende do modo como sua calculadora foi projetada.

_`[{a professora diz_`]
  "Se o resultado for 4 ..."

<R+>
  Continue a digitar estas sequncias e descubra a regra de formao dos resultados encontrados: 

_`[{sequncia de teclas_`]
 2 + = = =
 2 + = = = =
 2 + = = = = =
 2 + = = = = = =

  Sem digitar a sequncia de teclas, escreva em seu caderno o resultado de:
<P>
_`[{sequncia de teclas_`]
 2 + sinal de *=* 12 vezes
 2 + sinal de *=* 20 vezes
 2 + sinal de *=* n vezes

               ::::::::::::::::::::::::

<165>
 5 -- Equaes e resoluo de problemas
<R->

  As equaes so muito utilizadas para resolver problemas do dia a dia.

_`[{o menino diz_`]
  "Estou com um problemo!"

_`[{outro menino diz_`]
  "Equacione o problema que tudo se resolve!"

  Por isso, estudaremos um pouco mais sobre a resoluo de problemas por meio de equaes.
  A ltima apresentao do Circo Mgico foi um sucesso.
<P>
  Compareceram 1.784 pessoas, e havia 140 crianas a mais que o dobro da quantidade de adultos.

<R+>
 wr
  Quantas crianas assistiram a essa apresentao?
<R->

  Veja como equacionar o problema proposto.
  Vamos indicar o nmero de adultos por *x*:

 x -- nmero de adultos
 2.x -- dobro do nmero de adultos
 2.x+140 -- nmero de crianas

  O nmero de adultos adicionado ao nmero de crianas  igual a 1.784 pessoas.
  Equao: x+`(2.x+140`)=1.784
  Vamos resolver a equao:

<R+>
 Escolheremos o 1 membro para isolar *x*.
 x+`(2.x+140`)=1.784
 x+2.x+140=1.784 
 x+2.x=1.784-140
 3.x=1.644 
 x=#,.!c=548 

 nmero de adultos -- 548
<R->

  Nmero de crianas: 2.x+140=
 =2.#edh+140=1.096+140=1.236
  Logo, 1.236 crianas assistiram  ltima apresentao do Circo Mgico.
<166>
  Juntando suas economias, Carla e Augusto fizeram compras. Compraram um liquidificador, um fogo e uma geladeira por R$3.762,00. O fogo custou R$510,00 a mais que o quntuplo do preo do liquidificador e a geladeira custou o dobro do preo do fogo.

<R+>
 wr
  Qual era o preo de cada eletrodomstico que o casal comprou?
<R->
<P>
  Vamos indicar o preo do liquidificador por *x*:

<R+>
 x -- preo do liquidificador
 5.x -- quntuplo do preo do liquidificador
 5.x+510 -- o preo do fogo  R$510,00 a mais que o quntuplo do preo do liquidificador
 2.`(5.x+510`) -- o preo da geladeira  o dobro do preo do fogo
<R->

  Carla e Augusto compraram: um liquidificador, um fogo e uma geladeira por R$3.762,00.
 
 x+5.x+510+2.`(5.x+510`)=3.762

  Equao: x+5.x+510+2.
 .`(5.x+510`)=3.762
  Resolvendo a equao:
 
<R+>
 x+5.x+510+2.`(5.x+510`)=3.762
 x+5.x+510+10.x+1.020=3.762
 16.x+1.530=3.762
 16.x=3.762-1.530
 16.x=2.232
 x=2.232~16=279~2
 x=139,50 

 preo do liquidificador -- 139,50
 preo do fogo -- 5.x+510= 
  =5.#aci,ej+510=1.207,50
 preo da geladeira -- 2.`(5.x+
  +510)=2.#a.bjg,ej=2.415,00
<R->

  Carla e Augusto pagaram R$139,50 pelo liquidificador, R$1.207,50 pelo fogo e R$2.415,00 pela geladeira.

<167>
 Nmeros e solues de problemas

  Uma situao-problema pode envolver nmeros naturais, inteiros positivos ou negativos, e nmeros racionais positivos ou negativos.
  Veja as situaes a seguir:

<R+>
_`[{foto: uma fila com muitas pessoas; a menina diz: "... 98, 99, 100, 101... ... 498, 499..."; o menino diz: "... 500!!! 500 pessoas!"_`]
<R->

  Imagine que a pergunta de um problema seja:
  Quantas pessoas h na fila da fotografia?

<R+>
 wr
  Que tipo de nmero dever ser a resposta desse problema?
<R->

  A resposta deve ser um nmero natural ou um nmero inteiro positivo. Se essa resposta for obtida por meio de uma equao, a raiz poder ser a soluo do problema proposto, desde que ela seja um nmero natural ou um nmero inteiro positivo.

<R+>
 wr
  Na equao que est no quadro a seguir, a letra *x* representa uma medida. A raiz dessa equao  -27,5. Esse valor pode 
<P>
  ser aceito como soluo do problema? 
<R->

<R+>
 !:::::::::::::::::
 l 3.`(x+1`)=x-52 _
 h:::::::::::::::::j
<R->

  Como *x* representa uma medida, ele deve ser um nmero racional positivo.
  O nmero -27,5  um nmero racional negativo. Portanto, embora ele seja a raiz da equao, no pode ser aceito como soluo do problema.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 47. Um pai tem 40 anos, e seu filho, 15. Daqui a quantos anos a idade do pai ser o dobro da idade do filho?
<P>
 48. A casa de seu Jos fica em um terreno retangular com 84 metros de permetro. O comprimento desse terreno  o triplo da largura. Quais so as medidas dos lados do terreno onde est a casa de seu Jos? 
 49. Neste trapzio, as medidas das bases esto indicadas na figura, e seu permetro  50 cm. Quanto medem seus lados, se ^c?{aB* e ^c?{dC* tm medidas iguais e cada um excede em 2 cm a medida da base menor?

<F->
     A     x    D
     cccccccccccc
                  
                   
                    
                       
----------------------
B       2x-5        C
<F+>

<168>
 50. Em uma corrida, a velocidade mdia alcanada por um avestruz excede a de um cavalo em 2 quilmetros por hora. A diferena entre o triplo da velocidade mdia do avestruz e o dobro da do cavalo  de 76 quilmetros por hora. Qual  a velocidade mdia que cada um deles consegue atingir?
 
(Fonte: Russell Ash. *Comparaes incrveis*. Rio de Janeiro: Salamandra, 1996.)

 51. Pensei em trs nmeros consecutivos, cuja soma  -72. Em que nmeros pensei? 
 52. Uma urna contm ao todo 108 bolas, entre azuis, vermelhas e amarelas. O nmero de bolas azuis  o dobro das vermelhas, e o nmero das amarelas  o triplo das azuis. Quantas bolas de cada cor existem na urna? 
 53. Uma casa comprada por R$148.650,00 foi paga em trs prestaes. A segunda prestao foi o dobro da primeira e a terceira foi R$14.800,00 a mais 
<P>
  que a segunda. De quanto foi cada prestao? 
 54. Fbio coleciona selos. O nmero de selos que ele tem, diminudo de 20,  o dobro do nmero de selos que ele possui. Quantos selos tem a coleo de Fbio?
<R->

 Seo + (mais)

 A fria da Terra

  Voc sabia que na ilha de 
 Java, onde vivem quase 120 milhes de pessoas, existem mais de cinquenta vulces ativos?
  Um deles, o vulco *Semeru*, vem expelindo fumaa e gases vulcnicos a cada 20 minutos desde 1967.

<R+>
  Resolva em seu caderno:
 a) Atualmente existem mais de y vulces ativos no planeta. O qudruplo do nmero oculto no y menos 120  a soma do dobro 
<P>
  desse nmero com 940. Quantos vulces ativos existem na Terra? 
 b) Subtraindo 52 metros de #,h da altitude do vulco Semeru, temos a altura de 7 prdios de 20 andares, cada andar com 3 metros, empilhados um em cima do outro. Qual  a altitude do vulco Semeru? 

  Pesquise: Como se formam os vulces? O que acontece quando um deles entra em atividade?

_`[{foto de um vulco seguido por legendas_`]
 Legenda 1: Magma:  formado por material rochoso existente no interior do planeta a cerca de 3.000C.
 Legenda 2: Chamin: constitui o tubo por onde o magma sai do interior do planeta.
 Legenda 3: Cratera: abertura por onde escapam a lava, as cinzas e os fragmentos.
<P>
 Legenda 4: Fluxo de lava: mesmo sendo inicialmente destrutiva, a lava fertiliza as terras que margeiam os vulces.
 Legenda 5: Cinzas e gases: formam a fumaa que acompanha as erupes.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<169>
 6 -- Equao com denominadores

  Como vimos at aqui, equacionar um problema e resolver a equao  um dos caminhos para solucion-lo. Em alguns casos, a equao obtida tem termos com denominador.
  Vamos aprender a resolver equaes desse tipo:

<R+>
 wr
  A metade de um nmero adicionada a seus #:d corresponde  diferena entre 10 e #?h do mesmo nmero. Qual  esse nmero? 
<R->
<P>
  Vamos destacar as informaes e equacionar o problema:

<R+>
 x -- nmero a ser obtido
 x~2+3x~4 -- soma da metade do nmero com #:d do nmero
 10-5x~8 -- diferena entre 10 e #?h do nmero
<R->

  A metade de um nmero adicionada a seus #:d corresponde  diferena entre 10 e #?h do mesmo nmero.

 x~2+?3.x*~4=10-?5.x*~8

  Equao: x~2+?3x*~4=
 =10-?5.x*~8

  Essa equao apresenta termos com denominadores.
  Equaes como essa podem ser resolvidas de vrias maneiras. Uma possibilidade muito comum  reduzir todos os seus termos a um mesmo denominador e elimin-lo, 
<P>
 aplicando os princpios de equivalncia das equaes.

 Equao inicial
 x~2+?3.x*~4=10-?5.x*~8
 
 m.m.c.(2, 4, 8)=8

 Resoluo
 ?4.x+2.3.x*~8=?8.10-1.5.
  .x*~8
 Multiplicando os dois membros 
  por 8
 8.?4.x+6.x*~8=?80-5.x*~
  ~8.8
 
 Simplificando
 4.x+6.x=80-5.x

_`[{o menino diz_`]
  "Isolamos *x* no 1 membro da equao."

 4.x+6.x+5.x=80
 15.x=80
 x=#"ae=#,!c

 Portanto, o nmero  #,!c.
<170>
  Pedro foi destaque em um jogo de basquete.
  Um tero da diferena entre os pontos que ele fez e 3 unidades correspondem aos pontos marcados diminudos de 19 unidades.

<R+>
 wr
  Quantos pontos Pedro fez nessa partida? 
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "Um tempinho para voc resolver."

_`[{o menino pensa_`]
  "Sei que vou conseguir!"

  Vamos resolver este problema, usando tambm uma equao:

<R+>
 x -- nmero de pontos feitos por Pedro
 x-3 -- diferena entre os pontos de Pedro e 3 unidades
<P>
 ?x-3*~3 -- um tero da diferena entre os pontos de Pedro e 3 unidades

 Um tero da diferena entre os pontos e 3 correspondem a esse nmero diminudo de 19 unidades.
<R->
 ?x-3*~3=x-19

  Vamos resolver a equao obtida: ?x-3*~3=x-19

_`[{a professora diz_`]
  "Reduzimos ao mesmo denominador e multiplicamos os dois membros por 3."

 ?x-3*~3=x-19
 ?1.`(x-3`)*~3=?3.x-3.19*~3
 3.?1.`(x-3`)*~3=?3.x-3.
  .19*~3.3
 x-3=3.x-57

 Isolamos *x* no 2 membro: 
 -3+57=3.x-x
 54=2.x ou 2.x=54
<p>
 x=#?b
 x=27

 Logo, Pedro fez 27 pontos.

<171>
<R+>
 wr
  Se *x* representa um nmero inteiro, a equao #,d-?5.`(x-1`)*~3=-#,f tem soluo? 
<R->

_`[{a menina diz_`]
  "Veja como resolvi esse exerccio, Zeca."

_`[{zeca diz_`]
  "Que timo!!!"
 
 Resolvendo a equao:
 m.m.c.`(3, 4, 6`)=12
 12.?3.1-4.5.`(x-1`)*~12=
  =-?2.1*~12.12

 Eliminamos o denominador.
 3-20.`(x-1`)=-2
 3-20.x+20=-2

 Isolamos *x* no 2 membro.
 3+20+2=20.x 
 25=20.x ou 20.x=25
 x=#;?bj=#?d

  Como #?d no  um nmero inteiro, a equao no tem soluo.
  Na equao deste quadro, a letra *y* representa um nmero racional.

<R+>
 !:::::::::::::::::::::::::::::
 l #;c.`(2.y-1`)-#,e.`(y-4`)=-y _
 h:::::::::::::::::::::::::::::j
<R->

<R+>
 wr
  Qual  a soluo dessa equao? 
<R->

  Acompanhe a resoluo desse problema:

 #;c.`(2.y-1`)-#,e.`(y-4`)=-y
 ?2.`(2.y-1`)*~3-?1.`(y-4`)*~
  ~5=-y
<P> 
_`[{a professora diz_`]
  "Reduzimos a um denominador comum ... ...e multiplicamos os dois membros por 15."

 ?5.2.`(2.y-1`)-3.`(y-4`)*~15=
  =?-15.y*~15
 ?10.`(2.y-1`)-3.`(y-4`)*~15=
  =?-15.y*~15
 15.?10.`(2.y-1`)-3.`(y-4`)*~
  ~15=?-15.y*~15.15

<172>
  Eliminamos os parnteses e simplificamos a expresso.

 10.`(2.y-1`)-3.`(y-4`)=-15.y
 10.2.y-10.1-3.y+3.4=-15.y
 20.y-10-3.y+12=-15.y
 17.y+2=-15.y
 17.y+15.y=-2
 
 Isolamos *y* no 1 membro.
 32.y=-2
 y=-#;cb
 y=-#,af

 -#,af  um nmero racional.

  Portanto, a soluo da equao dada  -#,af.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 55. Nestes quadros, h quatro equaes do 1 grau com uma incgnita:

_`[{contedo dos quadros_`]
 A -- x~2+?2.x*~3=-7
 B -- #=d-y=y~6
 C -- ?4.t+5*~3-3=2.t
 D -- -3-s=?5-4.s*~2

 a) Qual  a incgnita em cada equao?
 b) Qual  a raiz de cada equao?
 c) A raiz de duas dessas equaes  um nmero inteiro. Quais so as equaes? 
 d) Quais dessas equaes tm como raiz um nmero natural? 

 56. Resolva as equaes deste exerccio e responda: Quais delas tm como raiz um nmero inteiro negativo? Quais so essas razes? 
 a) ?13-y*~8=?3.y*~4-1
 b) ?4.z-3*~15-1=?2.z*~3
 c) ?x-3*~4=?4+2.x*~6
 d) #,b-?3.`(1+t`)*~4=-t~3

 Problema resolvido

 57. A diferena entre o dobro e a tera parte da idade de Tuca supera a idade dela em 4 unidades. Quantos anos tem Tuca? Escrevemos uma equao com as informaes dadas:

 x -- idade de Tuca
 2.x -- dobro da idade de Tuca
 x~3 -- tera parte da idade de Tuca
<P>
 A diferena entre o dobro e a tera parte da idade de Tuca supera a idade dela em 4 unidades.

 2.x-x~3=x+4

<173>
 Resolvendo a equao:
 2.x-x~3=x+4
 ?3.2.x-1.x*~3=?3.x+3.
  .4*~3
 ?6.x-x*~3=?3.x+12*~3

 Na prtica cancelamos o denominador
 5.x-3.x=12
 2.x=12
 x=6

 Resposta: Tuca tem 6 anos.

 58. O J.J.R. Trio  uma banda e tanto! Ela  formada pelos irmos Joo, Jlia e Renato, cujas idades somam 33 anos. Jlia tem metade da idade de Renato, e Joo, 3 anos mais 
<P>
  que o dobro da idade de Jlia. Quantos anos tem cada um deles?

 59. Resolva estas equaes do 1 grau com uma incgnita:
 a) x~4+2.x=-3
 b) 3.x-x~2=10
 c) x-#=d=-?5.x*~2
 d) -x~3-#:d=#,f+?3.x*~2
 e) -?11.z*~20-#,b=#:d-z~5
 f) ?4.m*~5-?3.m*~10=
  =?5.m*~2-6
 g) #,d-?2.x*~3=x~6-#:h
 h) ?1-6.z*~5=?2.z+3*~3
 i) x~4-?3x-7*~5=#?b-?2x-
  -1*~4
<R->

 Aprender + (mais) 

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 60. Destas equaes, duas so equivalentes. Quais so elas? 
 a) x~2-#,c=x~4
 b) 3.`(x-5`)+9=-2
 c) ?6.x-1*~2=?3.x+20*~4

 61. Observe a equao: 

 1-3.`(4.y-5`)=-2.y

 a) Qual  a raiz dessa equao? 
 b) A raiz dessa equao  um nmero inteiro positivo?
 c) Que tipo de nmero  a raiz dessa equao?

 62. A raiz da equao #,f+#,c.`(2-x`)=?x-1*~4 est situada entre dois nmeros inteiros. Quais so eles? 

 63. O conjunto dos nmeros:
  inteiros no positivos pode ser representado por _z-

 _z-=~l..., -5, -4, -3, -2, -1, 0_,

  racionais no positivos pode ser representado por _q-

 _q-=~l..., -#:b, ..., -1, ..., -0,5, ..., 0_,

 Assim, se a raiz de uma equao  um nmero inteiro no positivo, ela pertence a _z- e tambm a _q-. Observe agora esta equao e responda: 

 9-`(4.y-5`)=-8.y

 a) Qual  a raiz dessa equao? 
 b) A raiz dessa equao pertence a _n, _z- ou _q-?

<174>
 64. Neste exerccio, considere a equao: ?1-3.x*~8-?3.
  .`(2.x-3`)*~4=?3.`(1-5.
  .x`)*~16 e responda a estas questes:
 a) Qual  a raiz dessa equao? 
 b) Represente-a em uma reta numerada.
 c) A raiz da equao  um nmero racional positivo?
 d) Entre que nmeros inteiros ela est situada? 
<P>
 65. Resolva estas equaes do 1 grau com uma incgnita em que *x* representa um nmero racional.
 a) ?5+x*~3=?2.x-1*~5
 b) ?7.x*~6-?9+5.x*~3=1
 c) ?3.x*~5-?4.`(x-5`)*~15=
  =-#,c
 d) ?3-2.x*~6-?1-8.x*~10=
  =0
 e) 2+#,b.`(t-2`)=t
 f) ?3.x+2*~8-#:d.`(-1-2.x`)=
  =x~2

 66. Observe a equao.

 ?1+3.y*~2-?3.`(2.y+5`)*~4=
  =-?13.y*~8 

 a) Que valor de *y*  raiz dessa equao? 
 b) Se, nessa sentena, *y* representasse um nmero inteiro negativo, ento a raiz encontrada poderia ser aceita como resposta? 
<P>
 67. A letra *x* representa um nmero inteiro. Dentre estas equaes com incgnita *x*, algumas tm soluo e outras no. Identifique as equaes que tm soluo e anote em seu caderno: 
 a) x~3-?x-4*~2=-3 
 b) x-5.`(2.x-8`)=1-`(x-3`)
 c) #,b-?3-2.x*~4=?1+6.
  .x*~8
 d) 2.`(x-4`)-3.`(5.x-1`)=8
 e) ?4.x-5*~6-x~3=#,b-
  -?x-4*~9
 f) #:d-?5.`(1-x`)*~12-
  -?5.x-2*~3=0

 Usando a calculadora

  Agora que voc sabe um pouco mais como sua calculadora funciona, digite a sequncia de teclas e anote em seu caderno o resultado que aparece no visor.

 _`[{teclas: - 7 = = = =_`]
<P>
  Generalize os resultados para a sequncia escrevendo uma regra de formao dos resultados. Anote uma expresso algbrica para expressar essa regra.

 _`[{teclas: - 7 sinal de = n vezes_`]

  Utilize essa expresso algbrica e determine uma equao para resolver o problema a seguir. Com o nmero -7 no visor da calculadora, quantas vezes deveremos pressionar a tecla *=* para obter o nmero -1.064? 
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<175>
 7 -- Equaes, geometria e 
  medidas 

  Como vimos, as equaes do 1 grau permitem resolver problemas em diversos contextos. Vamos continuar nossos estudos sobre equaes, em situaes que envolvem geometria e medidas.
  Analise o problema a seguir e procure resolv-lo utilizando equaes.
  Nesta figura, a semirreta {o{p  bissetriz do ngulo {m{o{n.

<F->
 5.x-26 
          
 M     P
        
        3.x+4
      
      o:::::::o::
      O        N
<F+>

<R+>
 wr
  Qual  o valor de *x*? 
  Qual  a medida de :?{m{o{n*? 
<R->

  Como :,?{o{p*  bissetriz de :?{m{o{n*, as medidas de :?{m{o{p* e :?{p{o{n* so iguais.

 5.x-26=3.x+4
<P>
  Resolvendo essa equao do 1 grau, temos:

 5.x-3.x=4+26 
 2.x=30 
 x=15

  Substituindo *x* por 15 em 5.x-26, temos a medida de :?{m{o{p*:

 5.x-26=5.15-26=75-26=
  =49
 
  Logo, med :?{m{o{n*=2.49=
 =98
  O valor de *x*  15 e a medida do ngulo {m{o{n  98.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 68. O permetro do tringulo representado por esta figura me-
<P>
  de 29 cm e os lados ^c?{m{p* e ^c?{m{s* tm medidas iguais.

<F->
          M
          ;
         i e 
        i   e
       i     e 
      i       e 2x~3+5
     i         e
    i           e
   i             e
  i               e
 i:::::::::::::::::e
 P   ?x-6*~2  S
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Qual  a medida de cada lado desse tringulo?

 69. Nesta circunferncia _`[no adaptada_`], considere que os ngulos centrais :?{b{o{a* e :?{c{o{b* so congruentes, e *a* representa uma medida em graus.
<P>
 _`[{ngulo {b{o{a=5"a+10 e ngulo {c{o{b=a+60_`]

 a) O que  a semirreta {o{b em relao a :?{c{o{a*?
 b) Qual  o valor de *a*?
 c) Qual  a medida de :?{c{o{a*?
 d) O que ocorre com as medidas de :?{c{o{b* e :?{b{o{a*?

 70. Nesta figura, :,?{o{p*  bissetriz do ngulo {m{o{n.

_`[{ngulo {m{o{p=x-12; ngulo {n{o{p=3x-1-63_`]

 a) Qual  o valor de *x*? 
 b) Qual  a medida dos ngulos congruentes? 
 c) Qual  a medida de :?{m{o{n*? 

 71. No losango {o{a{p{b, ^c?{o{p*  a bissetriz de :?{a{o{b*, cuja medida  70. A letra *x* representa uma medida em graus. A medida de :?{m{o{b*  igual  diferena entre *x* e 33.

<F->
           O
           ;
          ile 
         i l e
        i  l  e 
       i   l   e x-33
      i    l    e
     i     l     e
    i      r::   e
   i       l_-_    e
Ai::::::::h::j:::::eB
   e       lM     i
    e      l      i
     e     l     i
      e    l    i
       e   l   i
        e  l  i
         e l i
          eli
           P
<F+>

 a) Qual  o valor de *x*?
 b) Observe que ^c?{o{p*  perpendicular a ^c?{a{b*. Ento, qual  a medida de :?{o{a{b*? E de :?{o{a{p*?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<176>
 72. Um tringulo tem 35 cm de permetro, e dois de seus lados tm medidas iguais. O lado diferente mede o triplo do outro lado menos 5 cm. Determine as medidas dos lados desse tringulo.

 73. O permetro do quadrado representado por B excede em 52 cm o permetro do quadrado representado por A.

<F->
    x
!::::::
l      _
l  A  _
l      _
h::::::j
<P>
!::::::::::::
l            _
l            _
l            _
l    B      _
l            _
l            _
l            _
h::::::::::::j
      32 cm
<F+>

 a) Qual  o permetro do quadrado A? 
 b) Qual  a medida do lado do quadrado A? 
 c) Qual  a rea do quadrado A?

 74. O rio Nilo, com seus cerca de 6.695 km, era considerado o maior rio do mundo. Pesquisas mais recentes mostram que o rio mais extenso do mundo  o rio Amazonas, que nasce no lago *Lauricocha*, em meio ao planalto de *la Raya*. A maior bacia fluvial fica, tambm, no Brasil:  a bacia Amaznica.

_`[{mapa: *Bacia Amaznica* no adaptado_`]

 a) A metade da diferena entre a extenso do rio Amazonas e a do Nilo  86,5 km. Qual  a extenso do rio Amazonas? 
 b) O Amazonas  um rio de plancie, pois  navegvel desde sua foz, no oceano Atlntico, at a cidade de Iquitos, no Peru. O nmero de seus afluentes, mais de 7 mil, permite a navegao numa extenso impressionante. Aproximadamente o dobro dessa extenso excede em 6.000 km uma volta em torno da Terra pela linha do Equador. Sabendo-se que uma volta em torno da Terra pela linha do Equador equivale a cerca de 40.000 km, qual  a extenso navegvel na bacia Amaznica? 

 75. Resolva estas equaes em que *x* representa um nmero racional:
<P>
 a) 7-106.x=20-54.x 
 b) 3.x-26-5.x=4+4.`(3.x-20`) 
 c) 5.`(x-7`)-2.`(3.x-1`)=0 
 d) 6.x-17=13.`(x-1`)-4 
 e) -2.`(3-x`)+8-5.`(2.x-1`)=
  =-3.x 
 f) #:h-x~3=-?5.x*~6+#:d 
 g) ?2.`(1-x`)*~3-#,b=x~6
 h) ?3.x*~5-?4.`(x-5`)*~15=
  =-#,c
 i) ?3.x+2*~8-#:d.`(-1-2.x`)=
  =x~2

 76. Diferenas entre rpteis:

_`[{figura de trs rpteis_`]
  jacar do Pantanal; 
  jacar-au da Amaznia; 
  crocodilo da sia e da Austrlia.
<R->

 _`[{a menina diz_`]
  "Colocados um seguido do outro, totalizam 15,5 m."
<P>
<R+>
 O maior rptil do planeta, o crocodilo que vive na sia e na Austrlia, mede at 1 metro a mais que o jacar-au da Amaznia. Este pode mudar de cor para se camuflar. O jacar do Pantanal  quase inofensivo ao ser humano e atinge at 0,5 metro a mais que um tero do comprimento do jacar-au. Quantos metros atinge cada um desses rpteis, aproximadamente?
<R->

<177>
 Seo + (mais)

 Um caso de amor

  *Lilavati*  o nome de um livro escrito pelo famoso matemtico indiano *Baskara*. Essa obra trata de vrios temas da Matemtica e prope diversas situaes-problema.

_`[{a professora diz_`]
  "Este  um dos problemas que esto no Lilavati. Tente resolv-lo."
<R+>
 "Partiu-se um colar durante um jogo amoroso. Um tero das prolas caiu no cho, um quinto ficou no leito, um sexto foi encontrado pela mulher e um sexto foi achado pelo homem; seis prolas ficaram no fio. Diz-me: de quantas prolas se compunha o colar?" 
<R->

 Leitura + (mais)

 A evoluo de alguns smbolos

  Segundo a Histria, com o tempo, as palavras de uso frequente na lgebra comearam a ser abreviadas. Posteriormente, as abreviaturas foram se desprendendo da ideia original e se transformando em smbolos, que deixaram de ter ligao com as operaes que representavam.
  Por exemplo, a adio, na Idade Mdia, era indicada pela palavra *plus* por extenso; mais tarde unicamente pela inicial *p* com um til em cima: _`[no sistema comum de escrita_`]. Esse smbolo se transformou por fim em *+*.
  A subtrao era indicada pela palavra *minus*, por extenso, e, mais tarde, apenas pela inicial *m* com um til em cima: _`[no sistema comum de escrita_`]. Com o tempo, a letra desapareceu, ficando apenas o til, que se transformou em um trao: *-*.
  O smbolo de igualdade apareceu pela primeira vez em 1557, em um livro editado na Inglaterra.
  Nele, o autor Robert Recorde explica que escolheu um par de linhas paralelas de mesmo comprimento para indicar duas coisas iguais, pois duas coisas no podem ser mais iguais do que duas retas paralelas.

 _`[{quadro no adaptado_`]

<178>
<P>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Em uma emissora de televiso, o jornal dirio noturno comea s 19 h 45 min e termina s 20 h 20 min. Quanto tempo dura esse jornal? 

 2. Copie em uma folha de papel quadriculado esta figura:
 a) Qual  a localizao dos pontos A, B, C, D e O?
 b) Desenhando o ngulo {d{a{c, qual ser a sua medida? 
 c) A semirreta {a{b  bissetriz de :?{d{a{c*? Justifique sua resposta.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
 3. Responda a estas questes considerando a expresso 2.n, em que *n* representa um nmero inteiro positivo.
 a) As expresses 2.n e 2.n+2 representam nmeros pares ou mpares?
 b) Para n=11, as expresses 2.n e 2.n+2 representam nmeros pares consecutivos? 
 c) Represente trs nmeros pares consecutivos em que um deles  2.n.

 4. Qual  o nmero que, adicionado  stima parte,  igual a 19? 

 5. Desenhe:
  duas retas perpendiculares *a* e *b*;
  uma terceira reta *c*, perpendicular  reta *b*.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 O que voc pode concluir a respeito da posio da reta *a* em relao  reta *c*? 

 6. Neste quadrado, a letra *a* representa uma medida em centmetros. Represente o permetro e a rea desse quadrado, usando expresses algbricas. 

<F->
!::::::
l      _
l      _
l      _
h::::::j
   a
<F+>

 7. Nesta figura, as letras *a* e *b* representam medidas em metros:

<F->
       a         b
!:::::::::::::::::: 
l            _      _  
l     A     _  B  _5
l            _      _ 
h::::::::::::j::::::j 
<F+>

 A regio A tem rea igual a 60 m2 e a soma das reas das regies A e B  81 m2. Qual  o valor de *b*?

 8. A soma de trs nmeros consecutivos  60. Quais so esses nmeros? 
 9. Associe as letras correspondentes aos clculos da coluna A aos nmeros que representam os resultados na coluna B e anote os pares formados.

_`[{colunas adaptadas_`]
 Coluna A
 a) -12+`(-29`)-`(-3`)
 b) `(-123`)`(-1`)+17
 c) `(-125`)`(+25`)+`(-256`)`(-16`)
 d) -27+`(-23+7.3+2`)

 Coluna B
 1) -27 
 2) 11
 3) 140
 4) -38
<P>
 10. Uma empresa tem trs scias. Uma delas recebeu a metade do lucro anual, a outra recebeu um tero desse lucro mais R$24.000,00, e a terceira scia recebeu R$76.000,00. Qual foi o lucro da empresa? 
 11. De seu saldo bancrio, Gabriela retirou a metade do que tinha, depois um tero do restante e ainda ficou com R$200,00. Qual era o saldo inicial de Gabriela? 
 
 12. O valor de _ -100+25_ : 
 a) -75 
 b) 75 
 c) 100
 d) 125

 13. A forma simplificada da expresso 3.`(x+5`)-2.x+15 : 
 a) 3x
 b) 3x+15
 c) x+30
 d) x+10

<179>
 14. O dimetro de uma circunferncia de 3,5 cm de raio mede: 
 a) 7 cm 
 b) 3,5 cm 
 c) 3 cm
 d) 1,75 cm

 15. Em certo restaurante, as pessoas pagam uma quantia fixa de R$3,00 mais R$20,00 por 1 quilograma de comida consumido em cada prato. Quantos gramas de comida consumiu um cliente que gastou R$18,20? Uma equao que pode representar esse problema : 
 a) 3+n.20,00=18,20
 b) 3+n.2,00=18,20
 c) 3+n.0,20=18,20
 d) 3+n.0,02=18,20

 16. (Encceja) Em uma fbrica de parafusos, Carlos ficou encarregado de observar o funcionamento da mquina na produo. Ele organizou a seguinte tabela, em que *t* representa o tempo em minutos e *p* representa a quantidade de parafusos produzida nesse tempo:

<F->
!::::::::::::::::
l t (min) _ p   _
r:::::::::::w:::::w
l 1        _ 3  _
r:::::::::::w:::::w
l 2        _ 6  _
r:::::::::::w:::::w
l 3        _ 9  _
r:::::::::::w:::::w
l 4        _ 12 _
r:::::::::::w:::::w
l '''       _ ''' _
h:::::::::::j:::::j
<F+>

 A produo *p* em um determinado tempo *t* pode ser expressa por: 
 a) p=5.t 
 b) p=3.t 
 c) p=5+t
 d) p=3+t

 17. (Encceja) Considere a balana em equilbrio representada na figura. 
<P>
_`[{figura adaptada: balana em equlbrio_`]
 prato da esquerda: x kg x kg 5 kg.
 prato da direita: 13 kg.

 O nmero representado pela letra *x* :
 a) 7 
 b) 6 
 c) 5 
 d) 4

 18. (Vunesp) Os alunos de uma determinada escola responderam a uma pesquisa sobre a preferncia por tipos de uniforme que gostariam de usar. As opes foram: (I) camiseta branca de manga curta + cala jeans; (II) camiseta branca sem manga + cala jeans; (III) camiseta branca de manga curta + cala de moletom e (IV) sem preferncia. Os resultados da pesquisa so apresentados no grfico a seguir.
<P>
n.o de alunos por opo

<F->
  600_      
      _ 
  500_c            
      _ 
  400_            
      _ 
  300_ccccccc       
      _       
  200_                
      _       
  100_ccccccccccc    
      _           
  0  _              
   :::::gg:::gg:::gg::::gg:::::::
        I   II III IV
<F+>

 Sabendo-se que nessa pesquisa cada aluno pde escolher somente uma opo, ento o nmero total de alunos que escolheram as opes II e III corresponde a um percentual, sobre o total de alunos, de: 
 a) 20% 
 b) 25% 
 c) 30% 
 d) 40% 
 e) 50%

 19. (Prova Brasil) Na reta numrica da figura _`[no adaptada_`], o ponto E corresponde ao nmero inteiro -9 e o ponto F, ao inteiro -7. Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro zero estar: 
 a) sobre o ponto M.
 b) entre os pontos L e M.
 c) entre os pontos I e J.
 d) sobre o ponto J.

 20. (Saeb) Num tabuleiro de xadrez, jogamos com vrias peas que se movimentam de maneiras diferentes. O cavalo se move para qualquer casa que possa alcanar com movimento na forma de "L" _`[no sistema comum de escrita_`], de trs casas. Na posio da figura, os pontos marcados representam as casas que o cavalo poder alcanar, estando na casa d4. Dentre as casas que o cavalo poder alcanar, partindo da casa f5 e fazendo uma nica jogada, esto: 
 a) g3 ou d6. 
 b) h5 ou f3. 
 c) h7 ou d7.
 d) d3 ou d7.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quinta Parte
